Hipérbola, Cónicas
La hipérbola es una curva
plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugar geométrico de los puntos
cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante e
igual a 2a = AB, la longitud del eje real.
Tiene dos ejes perpendiculares que se
cortan en el punto medio O, el centro de
la curva. El eje mayor AB se llama eje real y está representado por 2a; el
eje menor está representado por 2b y se llama imaginario porque no tiene
puntos en común con la curva. Los focos se encuentran en el eje
real. La distancia focal se expresa como 2c. Entre A, B y C
tienen informes C2 = A2 B2. La hipérbole es simétrica en
comparación con dos ejes y, por lo tanto, en comparación con O. Las
rectas que conectan un punto M de la curva con los dos focos se llaman
radios vectores r y r', y por definición sucede: r - r'
= 2a. El perímetro principal de la hipérbola es de centro O y
radio 2a. Se define como el lugar geométrico de los lados de las
perpendiculares trazadas por los focos para cada tangente. Los
círculos concéntricos tienen centro de puntos focales y radio a.
La hipérbola,
como una elipse, se puede definir como el lugar geométrico de
los centros de los círculos que pasan por un punto focal y son
tangentes a los círculos del otro punto focal. Los puntos
asintóticos de
la hipérbola son tangentes a la curva en los puntos del infinito. Estas
asíntotas son simétricas respecto a los ejes y pasan por el centro
de la curva.
Dados dos puntos F1F1 y F2F2 llamados focos, se denomina hipérbola al conjunto
de puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos
es constante.
H={P(x,y)||d(P;F1)–d(P;F2)|=2a=cte}H={P(x,y)||d(P;F1)–d(P;F2)|=2a=cte}
Si la distancia entre los focos es d(F1,F2)=2cd(F1,F2)=2c , la condición para que sea una
hipérbola es:
c>a>0c>a>0
c2>a2c2>a2
c2–a2=b2c2–a2=b2
⇒c2=a2+b2
Con
una deducción similar a la de la elipse, se
obtiene:
x2a2–y2b2=1x2a2–y2b2=1
Es
la ecuación canónica de la hipérbola con centro en (0,0)(0,0) y eje focal y=0y=0 (eje xx)
Busquemos
las intersecciones con los ejes:
y=0⇒|x|=a⇒x=±a⇒V1,2=(±a,0)y=0⇒|x|=Aux=±a⇒V1,2=(±a,0)
x=0⇒y2=–b2x=0⇒y2=–b2
Entonces
no corta al eje y.
Los
puntos V1,2V1,2 se denominan vértices de la hipérbola.
1 Focos: Son los puntos fijos
2Eje focal, principal o real: Es la recta que pasa por los focos.
3Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento .
4Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5Vértices: Los puntos y son los puntos de intersección de la hipérbola
con el eje focal.
6Radios vectores: Son los segmentos que van desde un
punto de la hipérbola a los focos: y .
7Distancia focal: Es el segmento de longitud .
8Eje mayor: Es el segmento de longitud.
9Eje menor: Es el segmento de longitud .
11Asintotas: Son las rectas de ecuaciones:
12Relación entre los semiejes:
"Los planetas en su movimiento
alrededor del Sol describen órbitas elípticas en
uno de cuyos focos se encuentra el Sol" (Primera Ley de
Kepler, 1609).
PROPIEDADES REFLECTORAS
Las aplicaciones principales de las parábolas
incluyen su como reflectores de luz y ondas de radio. Los rayos
originados en el foco de la parábola se reflejan hacia
afuera de la parábola, en líneas paralelas al eje
de la parábola. Aun mas el tiempo que tarda en llegar
cualquier rayo al foco a una recta paralela a la directriz de la
parábola ( y por lo tanto estas propiedades se utilizan en
linternas, faros de automviles, en antenas de transmisión
de microondas.
Si una elipse se hace girar alrededor de su eje mayor
sobre una superficie (denominado elipsoide)
Y el interior es cromado para producir en el espejo, la
luz de un foco será reflejada hacia el otro foco. Los
rayos reflejan el sonido de la misma manera y esta propiedad se
utiliza para construir galería de susurros, habitaciones
en las que una persona parada en foco puede escuchar un sonido
emitido desde el otro foco como por ejemplo el Salon de los
Estatutos del Capitolio en EEUU.
Las propiedades ópticas de la parábola
y de la hipérbola se combinan en el diseño del
telescopio reflector:
EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE
Los planetas del sistema solar giran alrededor del sol
en orbitas (aproximadamente) elípticas, con el sol en uno
de los focos. La mayoría de las orbitas son casi
circulares, como señalan las excentricidades listadas en
la tabla. Pluton tiene la orbita mas excéntrica, con
e = 0,21 . otros miembros del sitema solar tienen
orbitas todavias mas excéntricas, icaro un asteroide de
aproximadamente 1 milla de ancho que da una vuelta alrededor del
sol cada 409 dias terrestres, tiene una orbita con excentricidad
de 0,83.
La hipérbola tiene una propiedad interesante: Si
unimos cualquier punto, P, de la hipérbola con sus focos,
el ángulo que forman los radios focales con la tangente en
ese punto, son iguales. (También se puede decir que la
tangente es la bisectriz del ángulo que forman los radios
focales). Esta propiedad se utiliza en la construcción de
espejos (de luz y sonido), pues la emisión, de luz o
sonido, desde el foco se refleja en la dirección de la
recta que une el otro foco con el punto
SISTEMA DE NAVEGACIÓN LORAN
Consiste en mandar una señal de radio
simultáneamente desde dos puntos muy lejanos entre
sí, cuyas posiciones se conocen con exactitud. A partir
del tiempo y del orden de llegada de las dos señales, es
posible determinar la posición de una de ellas
considerando que están en una rama de determinada
hipérbola, cuyos focos son las estaciones. Si se agrega
una tercera estación como la anterior, se puede usar
ésta con cualquiera de las 2 primeras, para restringir la
posición de la señal a una segunda
hipérbola.
El punto de intersección de las dos medias
hipérbolas da la ubicación del receptor
ASTRONOMIA
El movimiento más frecuente de
estrellas, planetas, satélites, etc. es el descrito
mediante trayectorias elípticas (la circunferencia es un
caso particular de elipse).
No hace falta salir al espacio para observar a la elipse
y a la parábola como trayectorias que sigue un cuerpo. El
físico italiano Galileo (1564-1642) descubrió la
ley que gobierna el movimiento de los cuerpos sobre la superficie
de la Tierra: La velocidad de caída de los cuerpos no
depende de su masa y es directamente proporcional al tiempo. Esto
implica que si lanzamos un objeto con cierta inclinación
hacia arriba la trayectoria seguida es una parábola. Esto
es así porque el movimiento de dicho objeto puede
descomponerse en dos: uno horizontal y otro vertical
-también descubierto por Galileo-, el horizontal sigue con
velocidad constante mientras que el vertical sigue la ley: v =
g·t, siendo g la constante de la gravedad (9,8 m/s²),
t, el tiempo y v, la velocidad.
ORBITA DE LOS COMETAS
A cierta distancia del Sol, existe una velocidad umbral
llamada velocidad de escape, v. Cuando un cometa
tiene una velocidad igual o mayor que v, escapa del sistema
solar. Si su velocidad es menor permanece dentro del campo
gravitacional del Sol.
Trayectoria del cometa Elíptica si su
velocidad es menor que v.
Hiperbólica si es mayor que
v. Parabólica si es igual a
v.
En los dos últimos casos , el cometa se acerca al
Sol una sola vez y se retira al espacio para nunca volver (solo
se consi-dera interacción entre 2 cuerpos,
Sol-cometa)
MEDICINA
Se usa un aparato llamado litotriptor para desintegrar
"cálculos" renales por medio de ondas intra-acuaticas de
choque. El funcionamiento de este aparato es de la siguiente
manera, se coloca un medio elipsoide de agua pegado al cuerpo del
paciente en el foco de esta parte del elipsoide se pone un
generador de ondas; el foco de la otra parte del elipsoide se
debe localizar en estos calculos y asi reflejarse las ondas en la
superficie de la elipsoide de afuera del paciente de todas
convergeran
CIRCUNFERENCIA
Se utilizan técnicas circunferenciales para
muchas cosas. Por ejemplo; Los Cds, piezas ordinarias en la
música actual, son una placa circular con un borde que
termina siendo una circunferencia. Al centro se observa un
orificio redondo que sirve para tomar el Cd y para que la radio
lo reproduzca. Estas piezas de la electrónica requieren de
mucha precisión para su correcto funcionamiento. Por lo
tanto para su fabricación se usan las técnicas del
radio y el diámetro.
La Circunferencia en las Armas
Como ya hemos dicho, el diámetro es un segmento
que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro,
este diámetro es lo que se usa para medir el tamaño
de agujeros como lo es en las armas. Se habla normalmente de
pistolas calibre de 6.35 mm, 7.65 mm, 9 mm, etc. Esto no es solo
un "nombre", sino que esto se refiere al tamaño del
agujero (cañón) por donde salen los proyectiles
(balas) del arma, usando el tamaño del diámetro y
usando una medida milimetra para lograrlo.
La Circunferencia en el Transporte
En el transporte también podemos apreciar la
presencia de la Circunferencia, de hecho, donde se puede notar y
ejemplificar mejor es en la Bicicleta, un conjunto de tubos
metálicos con dos ruedas que aplican la geometría
perfectamente: Las ruedas están hechas de un "arco" . La
mejor parte de esto es que la rueda se afirma desde el centro y
desde este salen un montón de alambres delgados llamados
"rayos" y estos son radios que mantienen la forma circunferencial
de la rueda perfectamente. Otra cosa es que el tamaño de
la rueda es medido en Aro 24, 26, etc. Y esto se hace usando el
diámetro.
La Circunferencia en los Deportes
Quizás parezca que en la única parte en
donde podría aplicarse la Circunferencia en los deportes
sería en los balones… Pero no, si solo nos detenemos a
pensar un poco nos daremos cuenta que muchas de las canchas o
lugares en donde se practican deportes tienen marcas
geométricas y Circunferencias que determinan situaciones
reglamentarias, etc. Los campos de Fútbol, las canchas de
Básquetbol, los campos de Fútbol Americano y en
muchas más.
Elementos de la parábola:
2Directriz: Es la recta fija d.
3Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
4Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
5Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
La parábola es una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del mismo, oblicuo a su eje y paralelo a una generatriz g de la superficie cónica.
El foco y la directriz determinan cómo va a ser la apariencia de la parábola (en el sentido de que «parecerá» más o menos abierta según sea la distancia entre F y la directriz). Todas las parábolas son semejantes. Su excentricidad es 1 en todos los casos. Solamente varía la escala.
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